Метод конечных элементов (МКЭ) - один из основных методов строительной механики. МКЭ является базой большинства современных компьютерных программ, с помощью которых производятся расчеты различных инженерных и строительных конструкций. Применение МКЭ не ограничено отраслью строительства. Метод активно используется в горнодобывающей промышленности, аэро- и гидродинамике, в машиностроении. Благодаря МКЭ решается ряд сложнейших задач в математической физике: определение теплопроводности, распространения волн, фильтрация и многое другое.
Как и многие численные методы, МКЭ основан на представлении непрерывной (континуальной) конструкции ее прерывной (дискретной) моделью. При этом сложные дифференциальные уравнения, которые позволяют описывать состояние сплошных тел, заменяются алгебраическими уравнениями. Кроме того, интерпретация геометрических характеристик и физических свойств исследуемой конструкции проста и понятна.
Суть МКЭ
Конкретная область, которую занимает конструкция, разбивается на определенное число элементов (подобластей), имеющих конечный размер. Отсюда элементы конструкции получили название конечные элементы КЭ). Процесс такого разбивания целостной структуры на элементы и называется дискретизацией. Совокупность всех элементов конструкции принято называть системой или сеткой.
КЭ могут быть совершенно различной формы. Это зависит от особенностей деформации и вида самой конструкции (одномерные, двумерные, трехмерные).
Так, для одномерных конструкций (различные балки) используют КЭ, представляющие собой различные участки стержней.
Для двухмерной конструкции (панели, плиты или оболочки) используют КЭ треугольной или четырехугольной формы.
Для трехмерных конструкций (мощные толстые плиты) используют КЭ, имеющие форму параллелепипеда или тетраэдра.
В таких дискретных МКЭ-моделях все КЭ связываются между собой в определенных узлах.
Функционал потенциальной энергии всей исследуемой области вычисляется с помощью подсчета суммы функционалов всех КЭ конструкции. Функционал энергии каждого КЭ высчитывается с помощью так называемой кусочно-непрерывной аппроксимации. Т. Е. каждому КЭ задается специальная аппроксимирующая функция (или координатная функция), которая позволяет определить искомые континуальные величины в пределах исследуемого КЭ.. Значения этих величин выражаются в узлах соединения КЭ. При этом произвольная нагрузка заменяется системой эквивалентных узловых сил. Тем самым соблюдается условие совместности только в узлах соединения КЭ. По перемещениям в узлах определяется функционал конструкции. В этом случае составляются уравнения, где неизвестными являются эти узловые перемещения. Аппроксимирующий метод позволяет получить матрицу ленточной или ячеистой структуры (редко заполненной).
Количество узлов и число перемещений в них могут быть разными. Степень свободы каждого КЭ зависит от числа перемещений в узлах. Таким образом, сумма всех перемещений в узлах КЭ характеризует степень свободы самой конструкции в целом.
МКЭ является более алгоритмизированным численным методом на сегодняшний день. Он более гибок и позволяет более полно описать существующие граничные условия и геометрию модели. Кроме того, МКЭ достаточно нагляден, что дает возможность получить исчерпывающее представление о характеристиках конструкции.
Основная задача МКЭ – выбор такой модели, которая лучше всего сможет аппроксимировать каждую конкретную область КЭ.
Аппроксимация дает приблизительные значения распределения исследуемых величин в КЭ, поэтому и общие свойства всей конструкции также получаются приблизительными.
В этой связи стоит вопрос о точности, устойчивости и сходимости полученных решений.
Под точностью принято понимать отклонение полученного приблизительного решения от истинного или точного решения. Устойчивость характеризуется ростом ошибок при вычислениях. Сходимость – приближение последовательных решений к предельному значению (аналогично итерационным процессам). В результате различия между последующими решениями уменьшается и стремится к нулю.
Общий алгоритм расчета МКЭ представляет собой последовательность матричных операций. В результате этого процесса определяются искомые параметры (перемещение, деформация, напряжение). Практически все расчеты проводятся с помощью компьютерных технологий.
Рассмотрим некоторые современные компьютерные программы , используемые для расчетов МКЭ.
Пакет инженерного анализа (CAE):
- ПП - MSC - MSE/Nastran – обеспечивает полный набор расчетов, включая: спектральный анализ, расчет устойчивости, напряженности, деформации, анализ устойчивости, теплопроводность и др. Данная программа обеспечивает создание полностью интегрированной среды для МКЭ-моделирования.
- Система ADAMS – программный комплекс имитационного моделирования механических систем, обеспечивающая кинематический и динамический анализ).
- I-DEAS MASTER SERIAS – интегрированный комплекс, позволяющий создавать МКЭ-модели отдельных деталей и целостных конструкций.
- ASSA – компьютерная программа института композитных технологий. Эта программа предназначена для подробного анализа перемещений деформаций и напряжений в многослойных анизотропных оболочках произвольной формы при различных силовых нагрузках. ASSA автоматически определяет эффективные характеристики многослойных оболочек, изготовленных с помощью современных технологий, вычисляет напряжение в слоях оболочек, корректирует жесткость слоев и форму оболочек (если происходит разрушение вследствие нагрузки), помогает правильно подобрать параметры конструкции для создания различных моделей из композитных материалов. Данная программа успешно применяется в России
С помощью этих и других современных компьютерных программ специалисты производят расчеты конструкций антенных отражателей, композитных баллонов высокого давления, обтекателей и различных отсеков космических ракет и других композитных конструкций.
